Tugas Kuliah - Pemodelan Matematika

PEMODELAN MATEMATIKA

MODEL EPIDEMIK SIR, SIC dan SVIR

 

Hai, polong renten (teman-teman)..

Pada artikel kali ini, kita akan membahas mengenai model epidemik SIR, SIC dan SVIR.

1.      MODEL SIR

Model epidemi SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan Mc. Kendrick pada tahun 1927. Model tersebut terdiri dari tiga kompartemen atau sub populasi yaitu: Susceptible (S) atau individu yang rentan terserang penyakit, Infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan, dan Recovered (R) atau individu yang diasumsikan telah sembuh atau kekebalan tubuhnya telah kembali normal sehingga kebal terhadap penyakit.

Pada ketiga klasifikasi di atas, antara sub populasi I  dan sub populasi S terdapat interaksi langsung. Dengan anggapan bahwa ada upaya penyembuhan terhadap yang terinfeksi (I) dan terjadi penularan terhadap anggota S, maka akan terjadi jumlah anggota S berkurang. Semua anggota I berisiko menularkan ke semua anggota S, sehingga pengaruh semua anggota I untuk menularkan ke semua anggota S adalah IS. Dengan demikian, laju penurunan Sub populasi S adalah sebanding dengan

                                                                     (2.1)

dengan β : tetapan (positif) tingkat penularan.

Sebagaimana disebutkan dalam pembahasan awal, sejumlah anggota I berinteraksi langsung terhadap anggota S. Sehingga terjadi kenaikan jumlah anggota I yang tertular. Besarnya anggota S yang tertular sebanyak . Dengan anggapan bahwa terdapat anggota I yang sembuh sehingga sub populasi I akan berkurang sebesar . Dengan demikian, laju kenaikan I adalah

                                                               (2.2)

dengan  : tetapan (positif) laju pemulihan.

Sub populasi R ini berhubungan dengan sub populasi I, seperti yang telah disebutkan di atas. Laju perkembangan subpopulasi ini sebanding dengan  anggota subpopulasi I yang sembuh,

                                                                          (2.3)

Berdasarkan asumsi ini, maka kita dapat membentuk skema model sebagai berikut:

 

 

 

Gambar 2.1 Skema Model Epidemi SIR

 

Skema diatas dapat dituliskan secara lengkap menjadi sistem persamaan diferensial sebagai berikut :

 

                                                                       (2.4)

 

dengan

S = jumlah individu yang rentan dalam populasi (Susceptible) pada waktu t

I = jumlah individu yang terinfeksi dalam populasi (Infectious) pada waktu t

R = jumlah individu yang sembuh dalam populasi (Recovered) pada waktu t

β = laju penularan penyakit dari Susceptible menjadi Infectious

γ = laju pemulihan dari Infectious menjadi Recovered.

  

Sistem persamaan diferensial (2.4) di atas menggambarkan transisi masing-masing individu dari S ke I lalu ke R. Dengan menambahkan ketiga persamaan tersebut kita dapat menunjukkan dengan mudah bahwa total populasi adalah konstan.

Di dalam epidemiologi, tingkat penyebaran penyakit menular biasa diukur dengan suatu nilai yang disebut bilangan reproduksi dasar (). Agar terbebas dari infeksi tuberkulosis, harus dibuat . Dalam hal ini setiap penderita hanya dapat menyebarkan penyakit kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru, sehingga pada akhirnya penyakit akan hilang. Sedangkan, apabila  maka setiap penderita dapat menyebarkan penyakit kepada rata-rata lebih dari satu penderita baru, sehingga pada akhirnya akan terjadi epidemic.

Oleh karena itu, jumlah individu yang terinfeksi dapat ditemukan dengan mencari nilai dari rasio reproduksi. Sedangkan untuk menunjukkan jumlah individu rentan (Susceptible) yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi dapat ditentukan dengan menghitung bilangan reproduksi dasar.

Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan  dan dinyatakan dengan persamaan berikut:

                                                       (2.5)

dengan

        = bilangan reproduksi dasar

β          = laju penularan penyakit dari Susceptible menjadi Infectious

γ           = laju pemulihan dari Infectious menjadi Recovered

         = jumlah penduduk

    = jumlah individu rentan (Susceptible) awal

Beberapa kondisi yang akan timbul, sebagai berikut:

1.    Jika , maka penyakit akan menghilang.

2.    Jika , maka penyakit akan menetap.

3.    Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.

 

 

 

 

 

2.      MODEL SIC

SIC Model ini membahas suatu model epidemik sederhana dengan pembawanya. Contohnya, penyebaran malaria melalui nyamuk, yang mana suatu nyamuk adalah pembawa penyakit malaria itu sendiri. Oleh karenanya ketika seseorang yang rentan terkena, dan kontak dengan pembawa penyakit malaria yaitu nyamuk, akibatnya menjadi terinfeksi. Pada model SIC ini dibagi menjadi kelas-kelas. Terdiri dari kelas Susceptible (S) atau individu yang rentan terserang penyakit, kelas Infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan, dan Carry (C) atau individu pembawa penyakit itu sendiri dan dapat diartikan sebagai sarana penyebar virus atau penyakit.  

Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini, seseorang yang berada di kelas Susceptible (S) atau individu yang rentan terserang penyakit terlibat kontak dengan individu yang berada di kelas  Infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan, tidak mengakibatkan mereka berada dikelas Infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan. Hal tersebut hanyalah sebuah asumsi bahwa seorang individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan dapat sembuh dan menjadi atau individu yang rentan terserang penyakit kembali. Kasus tersebut diperoleh suatu persamaan yang dijelaskan dalam model. Bentuk model SIC adalah sebagai berikut.

     

3.       MODEL SVIR

 

Vaksinasi merupakan upaya pencegahan penyebaran penyakit. Liu et al. (2008) mengembangkan model SIR menjadi model SVIR dengan memperhatikan program vaksinasi. Dalam model tersebut, individu yang mendapatkan vaksin dikategorikan ke dalam kelompok individu vaccinated (V). Pada individu kelompok V terdapat kematian alami, sehingga banyaknya individu kelompok V berkurang sebesar μV.  Vaksin  biasanya diberikan kepada bayi usia tertentu. Dengan memperhatikan hal tersebut bayi yang baru lahir digolongkan sebagai individu S. Sehingga individu yang mendapat vaksin adalah individu S.

Jika α menyatakan laju vaksinasi maka banyaknya individu kelompok S berkurang sebesar αS dan banyaknya individu kelompok V bertambah sebesar αS. Beberapa vaksinasi memiliki masa efikasi tertentu yang efektif mencegah penyakit selama jangka waktu tertentu. Hal tersebut menunjukkan bahwa vaksin tidak sepenuhnya memberikan kekebalan seumur hidup. Oleh karena itu, individu yang divaksin dimungkinkan menjadi rentan kembali terhadap infeksi penyakit. Jika λ menyatakan laju efektivitas vaksin maka banyaknya individu kelompok V berkurang sebesar λV dan individu kelompok S bertambah
sebesar λV. Gagal vaksin dapat terjadi apabila terjadi kesalahan prosedur pemberian vaksin, jadwal vaksinasi yang tidak tepat, kesalahan pada sistem kekebalan individu, dan lain-lain. Sehingga individu tersebut merupakan individu yang mendapatkan vaksin namun jika terjadi kontak dengan individu I maka individu tersebut akan terinfeksi penyakit. Hal tersebut disebut sebagai kegagalan vaksin. Jika δ menyatakan laju kegagalan vaksin maka banyaknya individu V berkurang sebesar δ  dan banyaknya individu I bertambah sebesar δ . Selanjutnya dinamika populasi model SVIR yang merupakan proses
perubahan banyaknya individu masing-masing kelompok ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1 Dinamika Model SVIR

Dengan demikian diperoleh model SVIR adalah sebagai berikut.

= θN-μS-β-αS+λV

= -μV+αS+λV -δ 

= -μI+β-γI-ηI+ δ

= -μR+ γI

 

dengan S(0) ≥ 0, V(0) > 0,  I(0) > 0,  R(0) ≥ 0 dan θ,μ,α,γ,η,β,λ,δ  > 0 Kedelapan parameter tersebut berturut-turut menyatakan laju kelahiran, laju kematian alami, laju kontak, laju kesembuhan, laju kematian karena penyakit, laju vaksinasi, laju efektivitas vaksin, laju kegagalan vaksin. Model (3) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear order satu. Perubahan sesaat banyaknya individu kelompok S, V, I, dan R dinyatakan dengan ,  ,  dan  Penyelesaian dari model (3) adalah banyaknyaknya individu pada masing-masing kelompok individu pada waktu t. Sehingga pola penyebaran penyakit ditentukan berdasarkan penyelesaian model SVIR.

 

 

Daftar Pustaka

Sandip Benerjee (2014), E-Book Mathematical Modeling (Models, Analysis And Applications). Diterbitkan Oleh CRC Press Taylor And Francis Group. No, ISBN -13:978-1-4822-2916-5(eBook-PDF).